Trang chủ / Máy tính / Công cụ phép toán điểm trên đường cong elliptic trực tuyến

Công cụ trực tuyến miễn phí

Công cụ phép toán điểm trên đường cong elliptic trực tuyến

Tính P+Q trên đường cong elliptic y²=x³+ax+b modulo p. Nhập a, p, P, Q và xem kết quả tức thì. Ví dụ: a=2, p=17, P(5,1), Q(6,3) → (10,6). Quá trình xử lý diễ…

Bắt đầu sử dụng

Tính năng và ví dụ cụ thể

Công cụ này thực hiện phép cộng hai điểm trên đường cong elliptic dạng y² = x³ + ax + b trên trường hữu hạn modulo p. Đây là phép toán cơ bản trong mật mã đường cong elliptic, nhưng công cụ chỉ hỗ trợ một phép cộng duy nhất, không có phép nhân vô hướng, không hỗ trợ các đường cong đặt tên, khóa nén, tọa độ xạ ảnh hay chữ ký số.

Ví dụ đã kiểm chứng

Với a = 2, p = 17, P = (5,1), Q = (6,3), kết quả P + Q = (10,6). Bạn có thể nhập các giá trị này để kiểm tra.

Trường hợp điểm tại vô cực

Nếu P = (5,1) và Q = (5,16) (cùng hoành độ, tung độ đối nhau), thì P + Q là điểm tại vô cực, vì hai điểm này là hai điểm đối xứng qua trục hoành và đường thẳng nối chúng là đường thẳng đứng, không cắt đường cong tại điểm thứ ba hữu hạn.

Giới hạn và lưu ý

p phải là số nguyên tố lẻ trong khoảng 3 đến 200000. Công cụ sẽ từ chối các modulo không phải số nguyên tố hoặc số chẵn.
Điểm P và Q phải nằm trên cùng một đường cong (tức là cùng tham số a và b, với b được suy ra từ P). Nếu Q không thỏa mãn phương trình, công cụ sẽ báo lỗi.
Phép tính được thực hiện hoàn toàn trong trình duyệt, không gửi dữ liệu lên máy chủ. Tuy nhiên, đây chỉ là công cụ học tập, không dùng cho mật mã sản xuất.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao tôi nhận được thông báo lỗi khi nhập p = 15?

Vì p phải là số nguyên tố lẻ. 15 không phải số nguyên tố, nên công cụ từ chối tính toán. Hãy chọn p là số nguyên tố như 17, 19, 23, v.v.

2. Làm thế nào để biết điểm Q có nằm trên cùng đường cong với P không?

Công cụ sẽ tự động kiểm tra: sau khi nhập P, nó suy ra b = yP² - xP³ - a*xP (mod p). Sau đó, nó kiểm tra xem Q có thỏa mãn yQ² ≡ xQ³ + a*xQ + b (mod p) hay không. Nếu không, nó sẽ báo lỗi 'Điểm Q không nằm trên đường cong'.

3. Kết quả hiển thị 'điểm tại vô cực' nghĩa là gì?

Điều đó có nghĩa là P và Q là hai điểm đối xứng qua trục hoành (cùng hoành độ, tung độ đối nhau). Trong hình học đường cong elliptic, tổng của chúng là điểm tại vô cực, ký hiệu là O. Công cụ hiển thị thông báo này thay vì tọa độ số.

Quá trình xử lý diễn ra cục bộ trong trình duyệt.

Cách sử dụng

Hướng dẫn sử dụng

Nhập tham số a (số nguyên) và p (số nguyên tố lẻ từ 3 đến 200000) vào các trường tương ứng.
Nhập tọa độ điểm P (xP, yP) và điểm Q (xQ, yQ). Lưu ý: điểm P phải nằm trên đường cong y² = x³ + ax + b, và b được suy ra từ P. Điểm Q phải nằm trên cùng đường cong đó.
Nhấn nút tính toán (mô tả hành động: 'Tính tổng P + Q') để thực hiện phép cộng điểm.
Kết quả sẽ hiển thị tọa độ điểm R = P + Q, hoặc thông báo 'điểm tại vô cực' nếu P và Q là hai điểm đối xứng qua trục hoành (cùng x, y đối nhau).
Nếu có lỗi (ví dụ: p không phải số nguyên tố, điểm không nằm trên đường cong, hoặc mẫu số không khả nghịch), công cụ sẽ hiển thị thông báo lỗi tương ứng.